1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):
1.1 Định nghĩa 1:
Ma trận vuông I cung cấp n được gọi là ma trận đơn vị chức năng ví như A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp cho n
Ta phân biệt ma trận bên trên là sống thọ. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên có dạng sau:
Dường như, ma trận đơn vị chức năng là độc nhất. Thật vậy, mang sử tất cả nhị ma trận đơn vị I với I’. Ta có:
Vì I là ma trận đơn vị bắt buộc I.I’ = I’.I = I’
và I’ là ma trận đơn vị chức năng nên I’.I = I.I’ = I
Vậy: I = I’
1.2 Định nghĩa 2:
Cho A là 1 ma trận vuông cung cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, trường hợp mãi sau một ma trận B vuông cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi kia, B được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.
Bạn đang xem: Tìm m để ma trận khả nghịch
Như vậy: A.A-1= A-1.A= In
1.3 Nhận xét:
1. Ma trận nghịch đảo là độc nhất, vì chưng trả sử trường thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C
2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1
3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có khá nhiều giáo trình quốc tế sẽ đề cùa đến có mang khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.
Thật vậy, mang lại A là ma trận cấp cho m x n bên trên ngôi trường số K. lúc kia, ta bảo A là khả nghịch trái ví như sống thọ ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như sống thọ ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, dĩ nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái cùng khả nghịch đề nghị.
4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.
5. Tập phù hợp các ma trận vuông cung cấp n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).
1.4 Các ví dụ:
Xét các ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:
Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A
Ma trận C ko khả nghịch do với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta đông đảo có:
Xem thêm: Làm Việc Theo Nhóm Nguyễn Thị Oanh, Làm Việc Theo Nhóm
2. Tính chất:
1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1
2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T
(quý khách hàng hãy thừ chứng tỏ tác dụng trên nhé)
3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:
3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) nếu như E nhận được tự ma trận đơn vị In bời đúng 1 phnghiền chuyển đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp mẫu tốt cột điện thoại tư vấn chung là ma trận sơ cấp.
3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp mẫu (tuyệt cột) phần đông khả nghịch cùng nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp cho dòng.
Ta có thể soát sổ trực tiếp công dụng bên trên bởi thực nghiệm:
Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0
3.3 Định lý:
Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc kia, các khẳng định sau đó là tương đương:
1. A khả nghịch
2. In nhận thấy từ A do một vài hữu hạn những phnghiền biến hóa sơ cấp chiếc (cột)
3. A là tích của một vài hữu hạn các ma trận sơ cấp
(quý khách đọc hoàn toàn có thể coi chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)
3.4 Hệ quả:
Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những khẳng định sau đấy là tương đương:
1. A khả nghịch lúc và chỉ Khi dạng chính tắc của A là In
2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ bỏ A bởi một vài hữu hạn các phnghiền đổi khác sơ cấp cho dòng (cột); bên cạnh đó, thiết yếu dãy các phxay biến đổi sơ cung cấp mẫu (cột) đó sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.
4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo bằng phép biến hóa sơ cấp:
Ta sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tìm kiếm nghịch đảo (trường hợp có)của ma trận A vuông cấp cho n trên K. Thuật tân oán này được kiến tạo nhờ vào công dụng thứ hai của hệ trái 3.4. Ta tiến hành các bước sau đây
Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng cách ghnghiền thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào mặt cần ma trận A
Bước 2: Dùng những phép chuyển đổi sơ cung cấp dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong các số đó A’ là 1 trong những ma trận cầu thang chủ yếu tắc.
– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B
– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình biến hóa giả dụ A’ mở ra ít nhất 1 mẫu ko thì mau lẹ Tóm lại A không khả nghịch (không cần phải gửi A’ về dạng chính tắc) với hoàn thành thuật tân oán.
lấy một ví dụ minc họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tra cứu ma trận nghịch hòn đảo của:
